積分の変数変換 - 機械学習に詳しくなりたいブログ

高校でやった置換積分の復習と2変数以上の拡張です。今回の内容はなかなかすっきりと理解できず、自分なりの解釈でまとめたため、誤りを含んでいるかもしれません。

1変数の場合

$\displaystyle y = \int_a^b f(x)dx \tag{1}$

において、 $x = g(t),g(\alpha)=a,g(\beta)=b$ として合成関数の微分より

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \frac{dy}{dt} &=& \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} \tag{2} \\ &=& f(x)g^{\prime}(x)　\tag{3} \\ &=& f(g(t))g^{\prime}(x) \tag{4} \end{eqnarray*}$

ですから、これを $t$ で積分すれば

$\displaystyle y = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g^{\prime}(x)dt \tag{5}$

となり、高校で習う置換積分の公式が導けます。これは

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(x)\frac{dx}{dt}dt \tag{6}$

とも書けます。

$dx=g^{\prime}(x)dt$ は、 $x$ から $t$ に変数変換したときに微小区間が $g^{\prime}(x)$ 倍に伸縮したと解釈できます。同じ微小区間でも大きさが違うっていうのはなんか直感的にわかりづらいですよね。

2変数の場合

$\displaystyle \iint_{D} f(x,y)dxdy \tag{7}$

の積分を考えます。 $x = \phi_1(u,v),y=\phi_2(u,v)$ とすると、全微分はその定義より、

$\displaystyle dx=\frac{\partial x}{\partial u}du +\frac{\partial x}{\partial v}dv \tag{8}$

$\displaystyle dy=\frac{\partial y}{\partial u}du +\frac{\partial y}{\partial v}dv \tag{9}$

です。式(8),(9)を行列で表わせば

$\left( \begin{array}{c} dx\\ dy \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\ \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} du\\ dv \end{array} \right) \tag{10}$

となります。この式における行列はヤコビ行列と呼ばれ、その行列式はヤコビアンと呼びます。ヤコビ行列は $J$ で書くことが慣習のようです。また、行列 $\mathbf A$ において、 $\det \mathbf A$ は拡大率を表しますから、式(10)におけるヤコビアンは、 $u,v$ 座標系と $x,y$ 座標系の面積比であると解釈でき、

$dxdy = | \det J | dudv \tag{11}$

と書けます。（補足を書きました：積分の変数変換 - 補足）なお絶対値がついているのは $\displaystyle \iint_D$ と書いた場合、積分の向きを考えないためです。 $I=[a,b$ ]に対して $\displaystyle \int_I$ と書いたら $\displaystyle \int_{a}^{b}$ のことです。