機械学習に詳しくなりたいブログ

機械学習や数学について勉強した内容を中心に書きます。100%趣味です。記事は数学的に厳密でなかったり誤りを含んでいるかもしれません。ご指摘頂ければ幸いです。

積分の変数変換

高校でやった置換積分の復習と2変数以上の拡張です。今回の内容はなかなかすっきりと理解できず、自分なりの解釈でまとめたため、もしかしたら誤りを含んでいるかもしれません。

1変数の場合


\displaystyle y = \int_a^b f(x)dx \tag{1}

において、x = g(t),g(\alpha)=a,g(\beta)=bとして合成関数の微分より


\begin{eqnarray*}
\displaystyle \frac{dy}{dx} &=& \frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt} \tag{2} \\
&=& f(x)g^{\prime}(x) \tag{3} \\
&=& f(g(t))g^{\prime}(x) \tag{4}
\end{eqnarray*}

ですから、これをtで積分すれば


\displaystyle y = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g^{\prime}(x)dt \tag{5}

となり、高校で習う置換積分の公式が導けます。これは


\displaystyle \int f(x)dx = \int f(x)\frac{dx}{dt}dt \tag{6}

とも書けます。

dx=g^{\prime}(x)dtは、変数変換したときに微小区間がg^{\prime}(x)dt倍に伸縮したと解釈できます。同じ微小区間でも大きさが違うっていうのはなんか直感的にわかりづらいですよね。

2変数の場合


\displaystyle \iint_{D} f(x,y)dxdy \tag{7}

の積分を考えます。 x = \phi_1(u,v),y=\phi_2(u,v)とすると、全微分は


\displaystyle dx=\frac{\partial x}{\partial u}du +\frac{\partial x}{\partial v}dv  \tag{8}


\displaystyle dy=\frac{\partial y}{\partial u}du +\frac{\partial y}{\partial v}dv  \tag{9}

です。式(8),(9)を行列で表わせば


  \left(
\begin{array}{c}
dx\\
dy
\end{array}
\right)
= \left(
    \begin{array}{cc}
      \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\
      \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \\
    \end{array}
  \right)
  \left(
\begin{array}{c}
du\\
dv
\end{array}
\right)
 \tag{10}

となります。この式における行列はヤコビ行列と呼ばれ、その行列式はヤコビアンと呼びます。ヤコビ行列はJで書くことが慣習のようです。また、行列\mathbf Aにおいて、\det \mathbf Aは拡大率を表しますから、式(10)におけるヤコビアンは、u,v座標系とx,y座標系の面積比であると解釈でき、


dxdy = | \det J | dudv \tag{11}

と書けます。(補足を書きました:積分の変数変換 - 補足)なお絶対値がついているのは \displaystyle \iint_Dと書いた場合、積分の向きを考えないためです。 I=[a,b]に対して \displaystyle \int_Iと書いたら \displaystyle \int_{a}^{b}のことです。

以上より、


\displaystyle \iint_{D} f(x,y)dxdy = \iint_{E}f(\phi_1(u,v),\phi_2(u,v))| \det J |  dudv \tag{12}

となります。3変数以上の場合も同様にしてヤコビアンを使って変数変換できます。


後日追記

ここで書いた内容がどうも自信がなくて、改めていろいろ調べているとヤコビアンを使った積分変数変換を発見。数式の画像がリンク切れになっていますが、書いてあることはほとんどこの内容と同じと思います。

そして解説には、

なお、注意ですが、以下の導出の仕方はかなり数学的厳密性に欠けます。あと、証明も直感に頼っていて、全く厳密ではありません。

とあり、また

uv平面上の微小面積dudvの|detJ|倍がxy平面上の微小面積dxdyになりそうだと想像できます。(“想像”で止めておいた方が無難です。本気で証明するのは大変で、“危険”です。)

とのこと。やはり、という感じ。いつかきちんと理解したいが、、、、。