機械学習に詳しくなりたいブログ

機械学習や数学について勉強した内容を中心に書きます。100%趣味です。記事は数学的に厳密でなかったり誤りを含んでいるかもしれません。ご指摘頂ければ幸いです。

2次の正方行列式と平行四辺形の面積

下図における原点と (a_1,a_2),(b_1,b_2),(a_1+b_1,a_2+b_2)からなる平行四辺形の面積を考えます。 f:id:opabinia2:20180314205738p:plain


h = |\mathbf b| \sin(\beta - \alpha) \tag{1}

だから面積は、


\begin{eqnarray*}
S &=& |\mathbf a| |\mathbf b| \sin(\beta - \alpha) \tag{2} \\
&=&  |\mathbf a| |\mathbf b| (\sin \beta \cos\alpha - \cos \beta \sin \alpha) \tag{3} \\
&=& |\mathbf a| \cos\alpha |\mathbf b| \sin \beta -  |\mathbf a| \sin\alpha  |\mathbf b| \cos \beta \tag{4} \\
\end{eqnarray*}

ここで  |\mathbf a| \cos\alpha = a_1  |\mathbf b| \sin\beta = b_2  |\mathbf a| \sin\alpha = a_2  |\mathbf b| \cos\beta = b_1だから、


\begin{eqnarray*}
&=& a_1 b_2 - a_2 b_1  \tag{5} \\
&=& \det \left(
    \begin{array}{cc}
      a_1 & a_2\\
      b_1 & b_2 \\
    \end{array}
  \right)
\end{eqnarray*} \tag{6}

となり、ベクトル  \mathbf a ,\mathbf b から作られる平行四辺形の面積は、  \mathbf a ,\mathbf b からなる行列式と等しいことが確認できました。

なお、 \mathbf a, \mathbf bの位置関係によっては\sin(\beta - \alpha)が負になることもあるため、


\begin{eqnarray*}
S &=& |a_1 b_2 - a_2 b_1|  \tag{5} \\
&=& \left| \det \left(
    \begin{array}{cc}
      a_1 & a_2\\
      b_1 & b_2 \\
    \end{array}
  \right) \right|
\end{eqnarray*} \tag{6}

とします。