2次の正方行列式と平行四辺形の面積 - 機械学習に詳しくなりたいブログ

下図における原点と $(a_1,a_2),(b_1,b_2),(a_1+b_1,a_2+b_2)$ からなる平行四辺形の面積を考えます。 f:id:opabinia2:20180314205738p:plain

$h = |\mathbf b| \sin(\beta - \alpha) \tag{1}$

だから面積は、

$\begin{eqnarray*} S &=& |\mathbf a| |\mathbf b| \sin(\beta - \alpha) \tag{2} \\ &=& |\mathbf a| |\mathbf b| (\sin \beta \cos\alpha - \cos \beta \sin \alpha) \tag{3} \\ &=& |\mathbf a| \cos\alpha |\mathbf b| \sin \beta - |\mathbf a| \sin\alpha |\mathbf b| \cos \beta \tag{4} \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} &=& a_1 b_2 - a_2 b_1 \tag{5} \\ &=& \det \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*} \tag{6}$

となり、ベクトル $\mathbf a ,\mathbf b$ から作られる平行四辺形の面積は、 $\mathbf a ,\mathbf b$ からなる行列式と等しいことが確認できました。

なお、 $\mathbf a, \mathbf b$ の位置関係によっては $\sin(\beta - \alpha)$ が負になることもあるため、

$\begin{eqnarray*} S &=& |a_1 b_2 - a_2 b_1| \tag{5} \\ &=& \left| \det \left( \begin{array}{cc} a_1 & a_2\\ b_1 & b_2 \\ \end{array} \right) \right| \end{eqnarray*} \tag{6}$

とします。