積分の変数変換 - 補足 - 機械学習に詳しくなりたいブログ

$dxdy = | \det J | dudv \tag{1}$

となることを書いたのですが、少し補足です。

全微分から得られる、

$\left( \begin{array}{c} dx\\ dy \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\ \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} du\\ dv \end{array} \right) \tag{2}$

について、 $u,v$ が直交座標系である場合を考えます。 $uv$ 座標系において $(du,0)$ は、式(2)より、 $\left( \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}du,\frac{\partial y}{\partial u}du \right)$ に変換され、 $(0,dv)$ は $\left( \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}dv,\frac{\partial y}{\partial v}dv \right)$ に変換されます。

変数変換前後で、各座標が作る平行四辺形の面積を考えます。 $(du,0)$ と $(0,dv)$ から作られる平行四辺形（長方形）の面積は $dudv$ です。そして変数変換された2点からなる平行四辺形の面積は、2次の正方行列式と平行四辺形の面積より、 $\left| \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}du\frac{\partial y}{\partial v}dv - \frac{\partial y}{\partial u}du \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}dv \right|$ となり、これを整理すれば $\left| \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial u} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \right|dudv$ です。これが $xy$ 座標系における微小区間の面積 $dxdy$ に等しいのですから、式(1)が得られます。*1