積分の変数変換で、2変数の場合に
となることを書いたのですが、少し補足です。
全微分から得られる、
について、が直交座標系である場合を考えます。
座標系において
は、式(2)より、
に変換され、
は
に変換されます。
変数変換前後で、各座標が作る平行四辺形の面積を考えます。と
から作られる平行四辺形(長方形)の面積は
です。そして変数変換された2点からなる平行四辺形の面積は、2次の正方行列式と平行四辺形の面積より、
となり、これを整理すれば
です。これが
座標系における微小区間の面積
に等しいのですから、式(1)が得られます。*1
*1:直交座標系でない微小区間の面積をdxdyと表していい根拠がちゃんと理解できてなくてすっきりしない。微小区間なのだからそれで良いということなのだろうか