機械学習に詳しくなりたいブログ

機械学習や数学について勉強した内容を中心に書きます。100%趣味です。記事は数学的に厳密でなかったり誤りを含んでいるかもしれません。ご指摘頂ければ幸いです。

積分の変数変換 - 補足

積分の変数変換で、2変数の場合に


dxdy = | \det J | dudv \tag{1}

となることを書いたのですが、少し補足です。

全微分から得られる、


  \left(
\begin{array}{c}
dx\\
dy
\end{array}
\right)
= \left(
    \begin{array}{cc}
      \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \\
      \displaystyle\frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial v} \\
    \end{array}
  \right)
  \left(
\begin{array}{c}
du\\
dv
\end{array}
\right)
 \tag{2}

について、u,vが直交座標系である場合を考えます。uv座標系において(du,0)は、式(2)より、\left( \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}du,\frac{\partial y}{\partial u}du \right)に変換され、(0,dv)\left( \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}dv,\frac{\partial y}{\partial v}dv \right)に変換されます。

変数変換前後で、各座標が作る平行四辺形の面積を考えます。(du,0)(0,dv)から作られる平行四辺形(長方形)の面積はdudvです。そして変数変換された2点からなる平行四辺形の面積は、2次の正方行列式と平行四辺形の面積より、 \left| \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}du\frac{\partial y}{\partial v}dv  - \frac{\partial y}{\partial u}du \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v}dv \right|となり、これを整理すれば \left| \displaystyle\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}  - \frac{\partial y}{\partial u} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial v} \right|dudvです。これが xy座標系における微小区間の面積dxdyに等しいのですから、式(1)が得られます。*1

*1:直交座標系でない微小区間の面積をdxdyと表していい根拠がちゃんと理解できてなくてすっきりしない