フィッシャーの線形判別（１） - 機械学習に詳しくなりたいブログ

フィッシャーの線形判別は、これ自体は判別・識別の手法ではなく、各クラスのデータの分離を保ちつつ次元圧縮する手法のようです。多次元のデータを扱うのは大変なので、次元圧縮して計算を楽にしようということでしょうか。今回は2次元の入力を1次元に圧縮する場合を考えていきます。

2次元の入力 $\mathbf x$ 、 $C_1,C_2$ の2クラスのデータを考え、

$y = \mathbf{w}^{T} \mathbf{x} \tag{1}$

で1次元に射影するとします。先回までに考えた線形識別とは異なり、ダミー入力は入れません。どのような線上に射影すれば最も分離しやすくなるか？を考えていきます。イメージは以下のアニメーションです。

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上のグラフは赤色のクラスと青色のクラスのデータで、緑色の直線に射影した時の点が下に表示されています。これくらいの単純な例だと、目視でなんとなく良さそうな直線が見つけられそうですけどね。

各クラスにデータが $N_k$ 個あるとすると、平均ベクトルは

$\displaystyle \mathbf m_k = \frac{1}{N_k} \sum_{n \in C_k} \mathbf x_n \tag{2}$

と書けます。2クラスの問題であれば、

$m_2 - m_1 = \mathbf{w}^{T} (\mathbf m_2 - \mathbf m_1) \tag{3}$

を最大にする $\mathbf w$ を解とするというのが1つの方法です。式(3)において $m_k$ は平均ベクトルを式(1)で射影した値です。つまり、式(3)を最大にするということは、各クラスのデータの中心点が最も離れるように射影するということです。ただし、 $\mathbf w$ は

$\displaystyle \sum_i w_i^2 = 1 \tag{4}$

とします。射影時に拡大させてしまうと $m_2-m_1$ がどれだけでも大きくなってしまうためです。

しかし各クラスのデータのばらつき具合によっては必ずしも最適な解にはなりません。見た目の判断ですが、先程のアニメーションの例でもそうなっていると思います。平均ベクトルの距離が近寄りながら、ばらつきも小さくなっていき、最適な分離が現れていそうです。

ということで、ばらつきを考慮するために、射影後の各クラスのデータの分散

$\displaystyle s_k^2 = \sum_{n \in C_k} (y_n - m_k)^2 \tag{5}$

を考慮にいれ、フィッシャーの判別基準は

$\displaystyle J(\mathbf w) = \frac{(m_2 - m_1)^2}{s_1^2 + s_2^2} \tag{6}$

と定義され、これを最大にする $\mathbf w$ を解とします。射影後の分散は小さく、そしてデータの中心点は遠くとりたいということですね。