行列の対角化（２） - 機械学習に詳しくなりたいブログ

行列の対角化で導出した方法よりこちらのほうがわかりやすかったので書きます。

$n \times n$ 行列 $\mathbf A$ の $n$ 個の異なる固有値を $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 、対応する固有ベクトルを $\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2, \cdots , \mathbf{u}_{n}$ とすると、固有値、固有ベクトルの定義より $\mathbf A \mathbf u_1 = \lambda_1 \mathbf u_1, \cdots, \mathbf A \mathbf u_n = \lambda_n \mathbf u_n$ が成り立ちます。

これをまとめれば、

$\mathbf A (\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2, \cdots , \mathbf{u}_n) = (\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2, \cdots , \mathbf{u}_n) \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_{n} \end{array} \right) \tag{1}$

と書けます。 $\mathbf P = (\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2, \cdots , \mathbf{u}_{n})$ とすれば、

$\begin{eqnarray*} \mathbf A \mathbf P &=& \mathbf P \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_{n} \end{array} \right) \tag{2} \\ \mathbf P^{-1} \mathbf A \mathbf P &=& \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & & & 0 \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_{n} \end{array} \right) \tag{3} \end{eqnarray*}$

となります。なお逆行列を持つためには $\mathbf P$ の列ベクトルが線形独立である必要がありますから、固有ベクトルに重複がある場合は対角化できません。