機械学習に詳しくなりたいブログ

機械学習や数学について勉強した内容を中心に書きます。100％趣味です。記事は数学的に厳密でなかったり誤りを含んでいるかもしれません。ご指摘頂ければ幸いです。

2018-07-12

対称行列の逆行列

$\mathbf{A}$ を対称行列とします。 $\mathbf{A}$ の逆行列が存在するなら、

$\begin{eqnarray*} \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} &=& \mathbf{I} \tag{1}\\ (\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1})^{T} &=& \mathbf{I}\tag{2}\\ (\mathbf{A}^{-1})^{T}\mathbf{A}^{T} &=& \mathbf{I}\tag{3}\\ (\mathbf{A}^{-1})^{T}\mathbf{A} &=& \mathbf{I}\tag{4}\\ (\mathbf{A}^{-1})^{T} &=& \mathbf{A}^{-1}\tag{5} \end{eqnarray*}$

と変形でき、対称行列 $\mathbf{A}$ の逆行列もまた、対称行列であることがわかります。

なお途中の式変形は転置行列の定理を用いています。