機械学習に詳しくなりたいブログ

機械学習や数学について勉強した内容を中心に書きます。100％趣味です。記事は数学的に厳密でなかったり誤りを含んでいるかもしれません。ご指摘頂ければ幸いです。

逆行列の定理

線形代数・ベクトル

行列\mathbf{A}\mathbf{B}について、

(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1} \tag{1}

が成り立ちます。これは以下のように確かめることができます。

\begin{eqnarray*} \mathbf{I} &=& \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} \tag{2} \\ &=& \mathbf{A}\mathbf{B} (\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1} ) \tag{3} \end{eqnarray*}

より、(\mathbf{A}\mathbf{B})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}となります。

また、転置行列の定理と同様、

(\mathbf A\mathbf B\mathbf C)^{-1}=((\mathbf A\mathbf B)\mathbf C)^{-1}=\mathbf C^{-1}(\mathbf A\mathbf B)^{-1}=\mathbf C^{-1}\mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}\tag{4}

となり、n個の行列に対して

(\mathbf A_{1}\mathbf A_{2} \cdots \mathbf A_{n})^{-1}=\mathbf A_{n}^{-1} \cdots \mathbf A_{2}^{-1}\mathbf A_{1}^{-1}\tag{5}

となります。