ブロック行列の逆行列 - 機械学習に詳しくなりたいブログ

ブロック行列

$\mathbf{P} = \left( \begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \\ \end{array} \right) \tag{1}$

の逆行列は、 $\mathbf{A}$ が正則のとき、

$\left( \begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \\ \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \mathbf{A}^{-1} + \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1} \\ -\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} & \mathbf{S}^{-1} \\ \end{array} \right) \tag{2}$

$\mathbf{S} = \mathbf{D} -\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} \tag{3}$

です。

本当にそうなっているか、式(2)の左から $\mathbf{P}$ をかけて確かめてみます。

$\begin{eqnarray*} 1行1列目 &=& \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \tag{4}\\ &=& \mathbf{I} +\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \tag{5} \\ &=&\mathbf{I} \tag{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1行2列目 &=& -\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}+\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1} \tag{7} \\ &=& \mathbf{0} \tag{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2行1列目 &=& \mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} +\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{D}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \tag{9} \\ &=& \mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} - (\mathbf{D} - \mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \tag{10} \\ &=& \mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}-\mathbf{S}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1} \tag{11} \\ &=& \mathbf{0} \tag{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2行2列目 &=& -\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{S}^{-1} + \mathbf{D}\mathbf{S}^{-1} \tag{13} \\ &=& (\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})\mathbf{S}^{-1} \tag{14} \\ &=& \mathbf{S}\mathbf{S}^{-1} \tag{15} \\ &=& \mathbf{I} \tag{16} \end{eqnarray*}$

ちゃんとなっていました。

$\mathbf{D}$ が正則のときは

$\left( \begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \\ \end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{cc} \mathbf{M} & -\mathbf{M}\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{M} & \mathbf{D}^{-1} + \mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{M}\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} \\ \end{array} \right) \tag{17}$

$\mathbf{M} = (\mathbf{A}-\mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})^{-1} \tag{18}$

となります。