機械学習に詳しくなりたいブログ

機械学習や数学について勉強した内容を中心に書きます。100％趣味です。記事は数学的に厳密でなかったり誤りを含んでいるかもしれません。ご指摘頂ければ幸いです。

正定値行列の和

線形代数・ベクトル

\mathbf{x}^{T}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x} \tag{1}

です。\mathbf{A}、\mathbf{B}が正定値行列なら、二次形式は正でしたから（参考：正定値行列）、式(1)より、\mathbf{x}が非ゼロベクトルなら

\mathbf{x}^{T}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x} \gt 0\tag{2}

であり、つまり正定値行列の和もまた正定値行列です。