機械学習に詳しくなりたいブログ

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正定値行列の和


\mathbf{x}^{T}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x}=\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{x}^{T}\mathbf{B}\mathbf{x} \tag{1}

です。\mathbf{A}\mathbf{B}が正定値行列なら、二次形式は正でしたから(参考:正定値行列)、式(1)より、\mathbf{x}が非ゼロベクトルなら


\mathbf{x}^{T}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{x} \gt 0\tag{2}

であり、つまり正定値行列の和もまた正定値行列です。